Trong các biểu thức như a b {\displaystyle a^{b}} , ký hiệu cho luỹ thừa thường là viết số mũ b {\displaystyle b} dưới dạng bệ số trên cho số cơ số a {\displaystyle a} . Nhưng nhiều môi trường — chẳng hạn như ngôn ngữ lập trình và e-mail văn bản thuần tuý — không hỗ trợ sắp chữ bệ trên. Mọi người đã áp dụng ký hiệu tuyến tính a ↑ b {\displaystyle a\uparrow b} cho các môi trường như vậy, mũi tên lên gợi ý 'nâng cao sức mạnh của'. Nếu bộ ký tự không chứa mũi tên lên, dấu mũ (^) được sử dụng thay thế.

Ký hiệu bệ số trên a b {\displaystyle a^{b}} không thêm vào chính nó để khái quát hóa, điều này giải thích tại sao Knuth chọn hoạt động từ ký hiệu nội tuyến a ↑ b {\displaystyle a\uparrow b} thay thế.

a ↑ n b {\displaystyle a\uparrow ^{n}b} là một ký hiệu thay thế ngắn hơn cho n uparrows. Như vậy a ↑ 4 b = a ↑↑↑↑ b {\displaystyle a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b} .

Viết ra ký hiệu mũi tên lên về mặt mũ

Cố gắng viết a ↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow b} sử dụng ký hiệu bệ trên quen thuộc sẽ tạo ra một tháp mũ.

Ví dụ: a ↑↑ 4 = a ↑ ( a ↑ ( a ↑ a ) ) = a a a a {\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}

Nếu b là một biến số (hoặc quá lớn), tháp mũ có thể được viết bằng các dấu chấm và một ghi chú cho biết chiều cao của tháp.

a ↑↑ b = a a . . . a ⏟ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}

Tiếp tục với ký hiệu này, a ↑↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b} có thể được viết bằng một chồng các tháp mũ như vậy, mỗi tháp mô tả kích thước của tháp bên trên nó.

a ↑↑↑ 4 = a ↑↑ ( a ↑↑ ( a ↑↑ a ) ) = a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ a {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}

Một lần nữa, nếu b là một biến hoặc quá lớn, ngăn xếp có thể được viết bằng các dấu chấm và một ghi chú chỉ ra chiều cao của nó.

a ↑↑↑ b = a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ ⋮ ⏟ a } b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}

Hơn nữa, a ↑↑↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b} có thể được viết bằng cách sử dụng một số cột của các tháp mũ như vậy, mỗi cột mô tả số lượng mũ trong ngăn xếp bên trái:

a ↑↑↑↑ 4 = a ↑↑↑ ( a ↑↑↑ ( a ↑↑↑ a ) ) = a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ ⋮ ⏟ a } a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ ⋮ ⏟ a } a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ ⋮ ⏟ a } a {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}

Và nói chung hơn:

a ↑↑↑↑ b = a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ ⋮ ⏟ a } a a . . . a ⏟ a a . . . a ⏟ ⋮ ⏟ a } ⋯ } a ⏟ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}

Điều này có thể được thực hiện vô thời hạn để đại diện cho a ↑ n b {\displaystyle a\uparrow ^{n}b} như lũy thừa lặp của lũy thừa lặp cho bất kỳ a, n và b (mặc dù rõ ràng nó trở nên khá cồng kềnh).

Sử dụng túc thừa

Ký hiệu túc thừa b a {\displaystyle ^{b}a} cho phép chúng ta làm cho các sơ đồ này đơn giản hơn một chút trong khi vẫn sử dụng biểu diễn hình học (chúng ta có thể gọi những tháp túc thừa (tháp triện) này)

a ↑↑ b = b a {\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a} a ↑↑↑ b = a . . . a a ⏟ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}} a ↑↑↑↑ b = a . . . a a ⏟ a . . . a a ⏟ ⋮ ⏟ a } b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}

Cuối cùng, như một ví dụ, số Ackermann thứ tư 4 ↑ 4 4 {\displaystyle 4\uparrow ^{4}4} có thể được trình bày như:

4 . . . 4 4 ⏟ 4 . . . 4 4 ⏟ 4 . . . 4 4 ⏟ 4 = 4 . . . 4 4 ⏟ 4 . . . 4 4 ⏟ 4 4 4 4 {\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}